Mediana para datos agrupados

En este artículo Se definirá cómo se encuentra la mediana para datos agrupados paso a paso con ejemplos y fórmulas

La mediana en un conjunto de datos es el número que se encuentra en el centro de la serie cuando los elementos del conjunto están ordenados, ya sea de menor a mayor o de mayor a menor, la mediana no cambia en ninguno de los 2 casos. Cuando se tienen datos individuales es muy simple poder definir la mediana porque solo se tienen que ordenar los números y luego encontrar el número que está en medio, pero cuando se quiere encontrar la mediana en datos agrupados no se pueden ordenar los números individualmente porque lo que se tiene son intervalos con su respectiva frecuencia, entonces para encontrar la mediana de datos agrupados se tienen que realizar más pasos.

Mediana para datos agrupados

En términos más simples la mediana es un número central de una serie de datos, el inconveniente con la mediana para datos agrupados es que no se da un número en concreto, por ejemplo se puede tener que el intervalo ]10 – 20] tiene una frecuencia de 4, que significa que hay 4 números entre 10 y 20 y no se sabe cuales son estos números o si se repiten, entonces lo que se hace en la mediana en datos agrupados es determinar un dato estimado en donde puede estar la mediana, por lo tanto es probable que la mediana que se calcule con los datos agrupados no sea siquiera parte de los datos que se recolectaron, pero aun así este valor se tomará como la mediana.

Fórmula mediana para datos agrupados

  • Mediana = Li *
    n/2
    - Fi-1     /fi
    * A

Como se puede observar en la fórmula de la mediana para datos agrupados hay muchas variables que se deben encontrar para luego introducirlas en la fórmula y así calcular la mediana, por eso a continuación se definirá que significa cada una de las variables a encontrar y cómo se encuentran, aunque si por algún motivo es difícil entender la siguiente teoría, se recomienda ir a la parte de los ejemplos donde se demuestra de manera aplicada.

n/2: en este fragmento de la formula, la letra n es la suma de todas las frecuencias y a parte este resultado ayuda a encontrar el intervalo donde está la mediana, pues la mediana está en el primer intervalo donde la frecuencia absoluta sea mayor al resultado de n/2.

Fi-1: Fi en mayúscula es el resultado de la frecuencia acumulada del intervalo en el que se encuentra la mediana, la frecuencia acumulada se obtiene sumando todas las frecuencias anteriores a la frecuencia del intervalo, mientras que el i-1 significa que será la frecuencia acumulada pero del intervalo anterior al intervalo que contiene la mediana.

Frecuencia Frecuencia absoluta
2 2
1 3
4 7
5 12

Li: esto es el límite inferior del intervalo en el que esta la mediana. Un límite inferior es el número menor de un intervalo, por ejemplo en el intervalo ]10 - 20], el límite inferior es el número 10.

fi: la f en minúscula es la frecuencia del intervalo, y la letra “i” hace referencia a que es la frecuencia en el intervalo de la mediana.

A: la letra A en mayúscula es la amplitud que tiene el intervalo de la mediana, este dato se obtiene restando el límite superior con el límite inferior del intervalo que contiene la mediana, por ejemplo la amplitud del intervalo ]30,50] es: 50-30 = 20.

Ejemplos mediana para datos agrupados

Ejemplo 1: Se realizó una encuesta en la que se preguntaba la cantidad aproximada de horas que las personas pasaban frente al celular, calcular la mediana de los resultados de la encuesta.

Horas Frecuencia
]0-2] 28
]2-4] 160
]4-6] 42
]6-8] 2
Total 232

Primero se va a encontrar cada parte de la fórmula por separado y luego se juntará todo en la fórmula para sacar el resultado de manera mas sencilla y ordenada.

  • Primero se encuentra el intervalo de la mediana.
  • n/2
  • 232/2
  • R// 116

Con este resultado se encuentra el intervalo, como se explica anteriormente, la mediana está en el intervalo que tenga la frecuencia absoluta mayor al resultado de n/2, entonces ahora se procede a encontrar las frecuencias acumuladas.

(con * el intervalo de la mediana)

Horas Frecuencia (fi) Frecuencia acumulada( Fi)
]0-2] 28 28
]2-4] 160 *188
]4-6] 42 230
]6-8] 2 232

Ahora que se encontró el intervalo que contiene la mediana, se puede saber también la variable Fi-1 que sería la frecuencia acumulada del primer intervalo, porque es el anterior del que contiene la mediana que sería: 28, también se sabe que Li que es el limite inferior del intervalo de la mediana es 2.

Y lo ultimo que hace falta encontrar es la variable A.

  • Se encuentra la amplitud del intervalo ]2 - 4]
  • A = 4 - 2
  • A = 2
  • Se calcula la mediana
  • Mediana = Li +
    n/2
    - Fi-1     /fi
    * A
  • Mediana = 2 +
    232/2
    - 28     /160
    * 2
  • Mediana = 2 +
    116 - 28 /160
    * 2
  • Mediana = 2 +
    88 /160
    * 2
  • Mediana = 2 + 0.55 * 2
  • Mediana = 2 + 1.1
  • Mediana = 3.1

Ejemplo 2: Encontrar la mediana de los siguientes datos.

Intervalos Frecuencia
]10 - 20] 91
]20 - 30] 88
]30 - 40] 35
]40 - 50] 102
Total 316
  • Primero se encuentra el intervalo de la mediana.
  • n/2
  • 316/2
  • R// 158

Ahora se encuentran las frecuencias acumuladas y se encuentra el intervalo que contiene a la mediana.

(con * el intervalo de la mediana)

Intervalos Frecuencia Frecuencia acumulada
]10 - 20] 91 91
]20 - 30] 88 *179
]30 - 40] 35 214
]40 - 50] 102 316
Total 316

Ahora se encontrara la amplitud del intervalo.

  • Se encuentra la amplitud del intervalo ]20 - 30]
  • A = 30-20
  • A = 10

Con esto ya se sabe que Li es 20, que fi es 88, que Fi-1 es 91 y que A es 10 por lo tanto se puede proceder a escribir todo en la formula y resolver el ejercicio.

  • Se calcula la mediana
  • Mediana = Li +
    n/2
    - Fi-1     /fi
    * A
  • Mediana = 20 +
    316/2
    - 91     /88
    * 10
  • Mediana = 20 +
    158 - 91 /88
    * 10
  • Mediana = 20 +
    67 /88
    * 10
  • Mediana = 20 + 0.76 * 10
  • Mediana = 20 + 7.6
  • Mediana = 27.6

Ejemplo 3: Se hizo una encuesta a las personas de un trabajo acerca de cuanto por ciento de su salario ahorraban. Sacar la mediana de los resultados.

Porcentajes Frecuencia
]0 - 5] 31
]5 - 10] 201
]10 - 15] 12
Total 244

Primero se va a encontrar cada parte de la fórmula por separado y luego se juntará todo en la formula para sacar el resultado de manera mas sencilla y ordenada.

  • Primero se encuentra el intervalo de la mediana.
  • n/2
  • 244/2
  • R// 122

Luego se calculan las frecuencias acumuladas y se define el intervalo en el que se posiciona la mediana.

(con * el intervalo de la mediana)

Porcentajes Frecuencia Frecuencia acumulada
]0 - 5] 31 31
]5 - 10] 201 *232
]10 - 15] 12 244
Total 244

Posteriormente se encuentra la amplitud del intervalo.

  • Se encuentra la amplitud del intervalo ]5 - 10]
  • A = 10-5
  • A = 5

Con esto ya se definió Li = 5, fi = 201, Fi-1 = 31 y A = 5, con esto se planteará la formula y se procederá a calcular la mediana.

  • Se calcula la mediana
  • Mediana = Li +
    n/2
    - Fi-1     /fi
    * A
  • Mediana = 5 +
    244/2
    - 31     /201
    * 5
  • Mediana = 5 +
    122 - 31 /201
    * 5
  • Mediana = 5 +
    91/201
    * 5
  • Mediana = 5 + 0.45 * 5
  • Mediana = 5 + 2.25
  • Mediana = 7.25

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