Esperanza matemática
En este artículo Se explicará el concepto de la esperanza matemática, como y cuando se debe aplicar con ejemplos.
La esperanza matemática es el valor promedio de los resultados que se obtienen de un evento aleatorio, la esperanza matemática permite determinar si el resultado de realizar un evento o experimento aleatorio va a ser positivo o negativo a la larga, esto no significa que la esperanza matemática calcule la probabilidad de los sucesos, sino la consecuencia en términos de ganancias o perdidas que se producen a causa de los sucesos del espacio maestral y su probabilidad.
La esperanza matemática es muy útil en juegos de azar por ejemplo, porque ayuda a saber en que tipos de juegos es conveniente apostar y en cuales no, porque este proceso no determina cuan probable es perder o ganar, sino que determina si a largo plazo las ganancias serán mayores a las perdidas o si las perdidas serán mayores a las ganancias sin tomar en cuenta las veces que se pierda o gane.
Algo que es importante aclarar es que la esperanza matemática tendrá mayor margen de efectividad si el experimento se realiza una gran cantidad de veces, porque el valor de este método refleja lo que sucederá en un evento cuando este se haga una cantidad de veces alta, mientras mas alta sea la cantidad de iteraciones mas acertado será la realidad con el calculo.
Cuando se calcula la esperanza matemática no siempre dará un resultado que coincida con el valor de un suceso, pero esto es normal, porque como se explica anteriormente la esperanza matemática no define cual es el suceso que tiene más probabilidad de salir, sino que define un valor promedio que se obtendrá. Para conocer de manera practica el uso que tiene la esperanza matemática se supondrá que en un juego de monedas cada vez que la moneda cae cara se pierden 2 dólares, pero si la moneda caen en cruz se gana un dólar, en este ejemplo los sucesos del espacio muestral serían el perder 2 dólares y el ganar 1 dólar, donde la probabilidad de cada uno de los suceso va a depender de la probabilidad de cada cara, entonces la esperanza matemática en este caso dará un resultado promedio de lo que se ganará o perderá en cada ocasión si se hace en reiteradas ocasiones, porque en caso de participar en este juego solo unas cuantas veces la realidad podría estar muy alejada del calculo hecho.
La esperanza matemática se calcula cuando a lo largo de realizar un experimento una y otra vez, las probabilidades de cada suceso se mantienen constantes, por ejemplo en caso el anterior, cuando se lanza una moneda al aire, las posibilidades que caiga cara o cruz son siempre las mismas (1/2 o 50%), pero en otro caso si se tiene un valde lleno de 100 pelotas donde 50 pelotas son de color roja y 50 de color verde, y cada ves que se realiza el evento se saca una, entonces las probabilidades de cada color cambian, por ejemplo, en el primer intento las probabilidades de sacar una pelota de color roja o verde son las mismas, es decir de 50/100, y si se saca una pelota roja, entonces en el siguiente intento las probabilidades de sacar otra pelota roja será de 49/99 y las probabilidades de sacar una bola verde son de 50/99, por lo que las probabilidades van a variar siempre hasta que las bolas se acaben y en estos casos no se puede encontrar la esperanza matemática.
Fórmula
- Fórmula para encontrar la esperanza matemática
- E(x) = Σ Xi * P(x)
En la formula, E(x) Es la esperanza matemática de un evento aleatorio, xi es el valor de cada suceso y p(x) es la probabilidad de un suceso.
Ejemplos esperanza matemática
Ejemplo 1: En un juego una persona lanza un dado las veces que quiera, y las reglas del juego son las siguientes: si el dado cae en la cara 1, 2, 3 o 4, entonces la persona pierde 5 dólares, pero, si el dado cae en los lados 5 o 6, entonces la persona gana 10 dólares. Calcular la esperanza matemática de este juego
Primero se representarán los datos en una tabla para poder tener una mejor comprensión de los datos.
| X | -$5 (1,2,3,4) | $10 (5,6) |
|---|---|---|
| p(x) | 4/6 | 2/6 |
Lo que se tomará como valor de X es el dinero que se gane o se pierda, no los lados de los dados, porque el suceso es si se gana o se pierde dinero
- E(x) = (-$5 * 4/6) + ($10 * 2/6)
- E(x) = -3.33 + 3.33
- E(x) = 0
La esperanza matemática de este juego es de $0, lo que quiere decir que al jugar esto muchas veces, lo mas probable es que la cantidad de dinero que se pierda sea igual a la que se gane, por lo que no habrá perdidas o ganancias
Ejemplo 2: Se saca de una maquina un número al azar entre 1 y 20, donde si se saca un numero entre 1 y 7, el jugador pierde $2, si saca un numero entre 8 y 18 el jugador gana $1 y si el numero es 19 o 20, el jugador gana $3, encontrar la esperanza matemática de este juego
| X | -$2 (1-7) | $1 (8-18) | $3 (19-20) |
|---|---|---|---|
| p(x) | 7/20 | 11/20 | 2/20 |
Al igual que en el ejemplo anterior los valores de X será el dinero que se gane o pierda.
- E(x) = (-$2 * 7/20) + ($1 * 11/20) + ($3 * 2/20)
- E(x) = -0.7 + 0.55 + 0.3
- E(x) = $0.15
Ejemplo 3: Un empresario quiere comprar una empresa de la cual tiene datos de ganancias, si el obtuvo una probabilidad de ganancias y perdidas de cada mes, ¿Qué tan combeniente es que el empresario adquiera esta empresa?
| Ganancias /mes | $200 | $100 | -$30 | -$500 |
|---|---|---|---|---|
| p(x) | 3/8 | 3/8 | 1/8 | 1/8 |
- Se encuentra la esperanza matemática
- E(x) = ($200 * 3/8) + ($100 * 3/8) + (-$30 * 1/8) + (-$500 * 1/8)
- E(x) = 75 + 37.5 - 3.75 -62.5
- E(x) = +$46.25
Como conclusión aunque haya una posibilidad de perder $500 dólares, es probable que al final esa empresa produzca más dinero que el que se pueda perder.