Triángulos notables
En este artículo Se dará la definición de un triángulo notable, con 3 de los principales ejemplos y varios ejercicios resueltos.
Que són los triángulos notables
Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas las cuales permiten encontrar los lados y ángulos de un triángulo simplemente tomando como referencia las proporciones de sus lados y ángulos sin necesidad de recurrir a las formas tradicionales como el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triangulo rectángulo. Los lados de un triangulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que si se puede definir son las proporciones que los lados tendrán, por ejemplo si un lado mide 5 unidades, se sabrá que habrá otro que mida 4 y otro que mida 3, y esta es la idea de los triángulos notables, no de especificar la medida exacta de los lados sino que una proporción.
Propiedades generales de los triángulos
Recordatorio antes de continuar, para nombrar los lados y ángulos de un triángulo por lo general se utilizan las letras A, B y C, donde las letras mayúsculas se utilizan para los ángulos y las letras minúsculas se utilizan para los lados, donde los lados se nombrarán de igual manera que el ángulo contrario. Otra cosa que es importante de aclarar es que mientras mas grande sea el ángulo, mayor será el lado contrario.
Otro aspecto que también hay que tener presente cuando se resuelven triángulos notables es que la sumatoria de todos los ángulos van a sumar 180, pero como ya se sabe que hay un ángulo de 90°, entonces los otros 90° se reparten entre los otros dos ángulos, por esta razón al tener conocimiento de un ángulo, los otros dos lados se pueden calcular fácilmente simplemente restándole a 90, el ángulo que se tiene.
En estos triángulos se ocupará la letra “k” indicando que es una proporción, por ejemplo si se tuvieran los lados 1k y 2k, se puede decir que el lado 2k es el doble del lado 1k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.
Tipos de triángulos notables
Hay bastantes triángulos notables de los que se puede saber la proporción, pero por lo general, los más comunes a estudiar son los siguientes.
Triangulo 37-53 (ángulos) o 3-4-5 (lados).
Este triangulo tiene un ángulo de 37 y otro de 53, donde el lado opuesto al ángulo de 37 medirá 3k, el opuesto a 53 medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k
Triangulo 30-60(ángulos) o 1-2 (lados).
Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3, y la hipotenusa medirá 2k (es decir, el doble de lo que mida el primer lado)
Triangulo 45-45(ángulos) o 1-1(lados)
En este triangulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán lo mismo, es decir, 1k, mientras que la hipotenusa medirá k√2.
Ejercicios de triángulos notables
Ejercicio 1: Encontrar los lados restantes del siguiente triángulo que tiene un angulo de 30°
Como se puede observar este es un triángulo 30-60, y el lado que se esta dando es el opuesto al angulo de 30°, es decir el lado 1k, por lo que se encontrará el lado k√3 (b) y la hipotenusa k2 (c)
- En este caso como el lado que se da es el "1k", entonces el valor de "k" será este
- k = 6
- Ahora se encontrará el lado b
- b = k√3
- b = 6√3
- b = 10.39
- por último se encuentra el lado c
- c = 2k
- c = 2(6)
- b = 12
Ejercicio 2: Encontrar los lados restantes del siguiente triángulo que tiene un angulo de 53°
Este triángulo es un 53-37, y el lado que se da es el 5k
- Primero se encuentra el valor de k
- 5k = 25
- k = 25 / 5
- k = 5
- Se encuentra el lado b (4k)
- b = 4k
- b = 4(5)
- b = 20
- por último se encuentra el lado c (3k)
- c = 3k
- c = 3(5)
- b = 15
Ejercicio 3: Completar el siguiente triángulo
El triángulo de este ejercicio es un triángulo 45-45 y el valor que se da es el de el lado "1k", Este triángulo tiene los dos catetos del mismo tamaño, por lo que solo hace fálta encontrar la hipotenusa
- Primero se encuentra el valor de k
- 1k = 19
- k = 19
- Se encuentra el lado a (1k)
- a = 1k
- a = 19
- Ahora se encuentra la hipotenusa c (k √2)
- c = k√2
- c = 19√2
- c = 26.87
Ejercicio 4: Encontrar los lados restantes del siguiente tríangulo 30-60
El triángulo es 30-60 y el lado que se da es el k√3
- Se encuentra el valor de k
- k√3 = 100
- k = 100 / √3
- k = 57.74
- Se encuentra el lado a
- a = 1k
- a = 57.74
- Ahora se encuentra la hipotenusa c (2k)
- c = 2k
- c = 2 (57.74)
- c = 115.48
Ejercicio 5: Encontrar los lados del siguiente triangulo 37-53
El lado que se da de este triángulo es el 5k
- Se encuentra el valor de k
- 5k = 38
- k = 38 / 5
- k = 7.6
- Se encuentra el lado b
- b = 4k
- b = 4(7.6)
- b = 30.4
- Y por último se encuentra el lado a (3k)
- a = 3k
- a = 3 (7.6)
- a = 22.8