Teorema de Pitágoras

En este artículo Se mostrará que es el teorema de pitágoras, cómo se usa, su fórmula y ejemplos

Definición del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es quisás el teorema más famoso que existe en matemáticas, este teorema es una ecuación que permite encontrar cualquier lado de un triangulo rectángulo (triángulo que posea un ángulo de 90°) siempre y cuando se conozcan los otros 2 lados del triángulo, el teorema establece que: ”En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrados será igual a la suma de los 2 catetos al cuadrado”. Aunque la definición de este teorema es el encontrar la hipotenusa, con realizar simples despejes se puede encontrar incluso cualquiera de los 2 catetos.

Recordatorio del nombre de los triángulos rectángulos: en triángulo que tengan un ángulo de 90° no se acostumbra a llamar a los lados por letras sino que por hipotenusa y catetos, por eso hay que recordar que la hipotenusa siempre va a ser el lado más grande del triángulo y esta se encuentra enfrente del ángulo de 90°, mientras que los catetos son los otros 2 lados, estos si se pueden diferenciar por letras el uno del otro.

Teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras solamente es usado para encontrar los lados de un triángulo rectángulo, pues en la fórmula de este teorema no se ven involucrados los ángulos del triángulo.

Uso del teorema de Pitágoras

Este teorema se utiliza especialmente en vectores, esto porque cuando se tiene vector es muy fácil encontrar un triángulo rectángulo en base al vector, donde el vector es la hipotenusa del triángulo, mientras que los catetos son las componentes en “x” y “y” del vector, por lo general el teorema de Pitágoras se ocupa para encontrar un vector resultante cuando se tiene el valor de sus componentes.

Para hacer sumas, restas, multiplicación o división de vectores, normalmente se descomponen los vectores que se van a operar y se trabaja simplemente con las componentes de los vectores, entonces al realizar estas operaciones, los resultados de un vector se obtienen por sus componentes y es entonces cuando se hace uso del teorema de Pitágoras para obtener el vector resultante.

Tanto el teorema de Pitágoras como las razones trigonométricas se complementan para muchos estudios en física, la diferencia entre estos dos es que este teorema solamente hace uso de lados y no de ángulos.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

En realidad solo es una formula, pero esa se puede despejar para tener de diferentes maneras para encontrar catetos o directamente la hipotenusa

C = hipotenusa | A = cateto 1 | B = cateto 2

  • Fórmula
  • C2 = A2 + B2
  • Para encontrar directamente la hipotenusa
  • C = √ A2 + B2
  • Fórmula para encontrar un cateto
  • A2 = C2 - B2
  • o
  • A = √ C2 - B2

Ejemplos del teorema de Pitágoras

Ejemplo 1: Un triángulo tiene una hipotenusa igual a 30 metros, si se sabe uno de los catetos mide 12 metros ¿Cuánto mide cateto restante?

Ejemplo1 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo

Hipotenusa C = 30mCateto A = 12Cateto B = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar un cateto
  • B2 = C2 - A2
  • B = √ C2 - A2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • B = √ 302 - 122
  • B = √ 900 - 144
  • B = √ 756
  • B = 27.49

Ejemplo 2: La hipotenusa de un triángulo es igual a 35.2 centímetros y un cateto mide 22 centímetros. Calcular el cateto que falta.

Ejemplo 2 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Hipotenusa C = 35.2cmCateto A = 22cmCateto B = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar un cateto
  • B2 = C2 - A2
  • B = √ C2 - A2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • B = √ 35.22 - 222
  • B = √ 1226.4 - 484
  • B = √ 742.4
  • B = 27.25

Ejemplo 3: Si los dos catetos de un triángulo miden 41.2 centímetros ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Ejemplo 3 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Cateto A = 41.2cmCateto B = 41.2cmHipotenusa C = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar la hipotenusa
  • C2 = A2 + B2
  • C = √ A2 + B2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • C = √ 41.22 + 41.22
  • C = √ 16097.44 + 1687.44
  • C = √ 3394.88
  • B = 58.27

Ejemplo 4: ¿Cuál es la medida de un cateto si se sabe que la hipotenusa mide 105 cm y el otro cateto mide la mitad de la hipotenusa?

Ejemplo 4 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Hipotenusa C = 105 cmCateto A = 52.5cmCateto B = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar un cateto
  • B2 = C2 - A2
  • B = √ C2 - A2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • B = √ 1052 - 52.52
  • B = √ 11025 - 2756.25
  • B = √ 8268.75
  • B = 90.93

Ejemplo 5: Calcular la hipotenusa de un triangulo que tiene un cateto de 20 cm y otro de 37cm

Ejemplo 5 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Cateto A = 20cmCateto B = 37cmHipotenusa C = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar la hipotenusa
  • C2 = A2 + B2
  • C = √ A2 + B2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • C = √ 202 + 372
  • C = √ 400 + 1369
  • C = √ 1769
  • B = 42.05

Ejemplo 6: Encontrar el valor del cateto restante de un triangulo que tiene una hipotenusa de 30 cm y un cateto de 5cm

Ejemplo 6 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Hipotenusa C = 30 cmCateto A = 5cmCateto B = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar un cateto
  • B2 = C2 - A2
  • B = √ C2 - A2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • B = √ 302 - 52
  • B = √ 875
  • B = 29.58

Ejemplo 7: Un hombre esta en un árbol que mide 3 metros, si otro hombre esta a 4 metros de distancia en el suelo ¿Cuál es la distancia entre ambos?

Ejemplo 7 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Cateto A = 4 mCateto B = 3 mHipotenusa C = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar la hipotenusa
  • C2 = A2 + B2
  • C = √ A2 + B2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • C = √ 42 + 32
  • C = √ 25
  • B = 5

Ejemplo 8: Dos hombres parten al mismo tiempo desde un punto, uno de ellos tomo direccion hacia el norte y avanso un total de 2km, mientras que otro hombre partio hacia el este y avanso 1.7km ¿Qué distancia los separa a ambos?

Ejemplo 8 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Cateto A = 2kmCateto B = 1.7kmhipotenusa C = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar la hipotenusa
  • C2 = A2 + B2
  • C = √ A2 + B2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • C = √ 22 + 1.72
  • C = √ 6.84
  • B = 2.62

Ejemplo 9: Si se sabe que un objeto se mueve a 2m/s en el eje "x" y 3m/s en el eje "y" ¿Cuál es la velocidad resultante?

Ejemplo 9 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Cateto A = 2 m/sCateto B = 3 m/sHipotenusa C = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar la hipotenusa
  • C2 = A2 + B2
  • C = √ A2 + B2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • C = √ 22 + 32
  • C = √ 13
  • B = 3.6

Ejemplo 10: Una modelo esta subida sobre un muro de 3 metros, si entre ella y el fotografo hay 8 metros de distancia ¿Cuál es la distancia entre el fotografo y el muro?

Ejemplo 10 del teorema de pitágoras

Datos del ejemplo:

Hipotenusa C = 8 mCateto A = 3 mCateto B = ?

  • Se plantea la fórmula para encontrar un cateto
  • B2 = C2 - A2
  • B = √ C2 - A2
  • Se reemplazan los datos y se resuelve
  • B = √ 82 - 32
  • B = √ 55
  • B = 7.42

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