Probabilidad Clásica
En este artículo exploraremos la probabilidad clásica, presentando su concepto, fórmulas clave y ejemplos prácticos resueltos paso a paso.
Qué es la Probabilidad Clásica
La probabilidad clásica es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad que se basa en la predicción de resultados en función de todos los posibles sucesos que puede tener un evento aleatorio. Esta rama de la probabilidad se encarga de distribuir equitativamente la probabilidad entre cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral. A lo largo de la historia, la probabilidad clásica ha sido una herramienta valiosa en diversas áreas, desde la estadística hasta la toma de decisiones en situaciones inciertas.
Hoy en día, la probabilidad clásica se aplica en numerosos campos, desde la economía y la ciencia de datos hasta la ingeniería y la planificación de proyectos. Además, con el avance de la tecnología y la disponibilidad de herramientas informáticas, los cálculos y simulaciones de probabilidad clásica se han vuelto más accesibles y precisos que nunca, lo que permite tomar decisiones más informadas y estratégicas.
Historia
La historia de la probabilidad clásica se remonta a los siglos XVII y XVIII, cuando matemáticos como Blaise Pascal y Pierre-Simon Laplace comenzaron a desarrollar las bases teóricas de esta disciplina. Sus contribuciones sentaron las bases para la comprensión de la probabilidad en situaciones simples y determinísticas, allanando el camino para su aplicación en diversos campos. Desde entonces, la probabilidad clásica ha evolucionado y se ha convertido en una herramienta esencial en la toma de decisiones y el análisis de datos en la era moderna.
Entendiendo la Probabilidad Clásica
Para comprender mejor la definición general de probabilidad clásica, consideremos el siguiente ejemplo: hay un grupo de 10 personas enumeradas del 1 al 10, y se va a llevar a cabo un sorteo de premios al azar. La persona encargada de seleccionar al ganador pensará en un número entre 1 y 10, y la persona cuyo número coincida con el seleccionado se llevará el premio.
En este escenario, todos los concursantes tienen la misma probabilidad de resultar ganadores, que es del 10%. Sin embargo, si entre estas personas hay 3 que son amigos (esto constituiría un suceso compuesto), entonces la probabilidad de que uno de los amigos sea el ganador ya no sería del 10%, sino del 30%. Es importante destacar que esto no implica una distribución injusta de la probabilidad entre las personas, simplemente se ha configurado un suceso compuesto.
Fórmula de la probabilidad clasica: Regla de laplace
En la probabilidad clásica, la fórmula utilizada a menudo se conoce como la "Regla de Laplace." Esta fórmula implica dividir los casos favorables a un suceso entre el número total de casos posibles. El resultado de esta operación será un número que varía entre 0 y 1. Si el resultado se encuentra fuera de este rango, es probable que se haya cometido un error en el proceso de cálculo. Para expresar este valor en porcentaje, simplemente se multiplica por 100%.
- Fórmula de la probabilidad clasica
- P(A) = n° de casos favorables a "A"n° total de casos
- Fórmula en porcentajes
- P(A) = n° de casos favorables a "A"n° total de casos* 100%
Para verificar la precisión de los cálculos, es necesario calcular la probabilidad de todos los sucesos y luego sumar todas estas probabilidades. El resultado debe ser igual a 1 o 100% si se expresa en forma de porcentaje. Cualquier desviación de este valor probablemente indique un error en los cálculos de probabilidad.
Encontrar la Probabilidad Clásica
Para encontrar la probabilidad clásica, vamos a utilizar el ejemplo de lanzar un dado. Primero, debemos identificar todos los posibles resultados, lo que se conoce como el espacio muestral. En el caso del lanzamiento de un dado, sabemos que hay 6 posibles resultados, uno por cada lado. Así que podemos definir nuestro espacio muestral de la siguiente manera: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ahora aplicaremos la Regla de Laplace a un suceso elemental, por ejemplo, el lado 2.
- Probabilidad del Lado 2
- P(2) = 1 / 6 * 100%
- P(2) = 0.1666 * 100%
- P(2) = 16.66%
En este ejemplo, todos los lados tienen la misma probabilidad de salir, es decir, un 16.66%. Si sumamos 16.66% 6 veces, el resultado sería aproximadamente 99.96%, que se redondea a 100%, por lo que el cálculo es correcto.
Como se explicó anteriormente, también podemos calcular la probabilidad de conjuntos de sucesos. Por ejemplo, ¿qué es más probable, que salga un número primo o que salga un número mayor a 4?
Para abordar esta pregunta, primero definimos los sucesos. Los números primos entre 1 y 6 son: 2, 3 y 5 (3 casos favorables), mientras que los números mayores que 4 son: 5 y 6 (2 casos favorables). Luego, calculamos la probabilidad de cada uno de los conjuntos.
- Probabilidad de Lados Primos
- P(prm) = 3 / 6 * 100%
- P(prm) = 0.5 * 100%
- P(prm) = 50%
- Probabilidad de Lados > 4
- P(>4) = 2 / 6 * 100%
- P(>4) = 0.3333 * 100%
- P(>4) = 33.33%
Después de realizar los cálculos, podemos concluir que, al lanzar un dado, es más probable que salga un número primo que un número mayor que 4.
Ejemplos de probabilidad clásica
Ejemplo 1: Entre 7 personas se reparten 5 cartas cada uno, el objetivo del juego es quien obtiene la combinación más alta de cartas, entonces, ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada uno de ganar la ronda?
- g = ganar
- P(g) = 1 / 7 * 100%
- P(g) = 0.1429* 100%
- P(g) = 14.29%
Ejemplo 2: En una urna hay 30 bolitas numeradas del 1 al 30. Si seleccionamos una bolita al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un número par?
- p = ser número par
- P(p) = 15 / 30 * 100%
- P(p) = 0.5 * 100%
- P(p) = 50%
Ejemplo 3: En una baraja de cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un corazón al seleccionar una carta al azar?
Para calcular la probabilidad de sacar un corazón, primero consideremos la estructura de una baraja de cartas. Una baraja está compuesta por 52 cartas en total, divididas en 4 palos: corazones, diamantes, tréboles y picas. Cada palo contiene 13 cartas.
- c = sacar un corazón
- P(c) = número de cartas de corazón / número total de cartas
- P(c) = 13 / 52 * 100%
- P(c) = 0.25 * 100%
- P(c) = 25%
Ejemplo 4: En una urna hay 5 bolas rojas, 4 bolas verdes y 6 bolas azules. Si seleccionamos una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o verde?
- r = ser roja
- v = ser verde
- P(r o v) = (5 + 4) / 15 * 100%
- P(r o v) = 9 / 15 * 100%
- P(r o v) = 0.6 * 100%
- P(r o v) = 60%
Ejemplo 5: Un hombre ha pensado un número entre 1 y 15, si este hombre le pide a su amigo que adivine en que número pensó, ¿Cuál es la probabilidad de que su amigo adivine el número en el primer intento?
- an = adivinar número
- P(an) = 1 / 15 * 100%
- P(an) = 0.067 * 100%
- P(an) = 6.7%
Ejemplo 6: Una persona tiene la oportunidad de ganar $100, $200, $500, $800 o $1 000 dólares al girar una ruleta donde están las cantidades que puede ganar, el problema está en que esta persona quiere comprarse un nuevo telefono y para ello, necesita por lo menos $400, entonces ¿Cuál es la probabilidad que le toque una cantidad que sea suficiente para comprarse su nuevo teléfono?
Primero se define el espacio muestral: E = {100, 200, 500, 800, 1 000}
Segundo se tienen que definir los sucesos a favor del nuevo telefono, que sería toda cantidad mayor a 450: 500, 800 y 1000 (3 casos favorables)
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que salga cualquiera de estas cantidades?
- nt = nuevo telefono
- P(nt) = 3 / 5 * 100%
- P(nt) = 0.6* 100%
- P(nt) = 60%
Luego de calcular la probabilidad clásica de este caso, se puede definir que si la persona gira la ruleta, hay más posibilidades que el dinero que se lleve sea suficiente para su nuevo telefono.
Ejemplo 7: En un grupo de 100 personas se rifará un total de 5 premios, si entre las 100 personas hay un grupo de 7 amigos, ¿Cuál es la probabilidad de que alguno del grupo de amigos se lleve alguno de los 5 premios?
Este problema puede sonar un poco complicado, pero si se sabe plantear no lo será tanto. Puede haber dos maneras de solucionar esta pregunta, a continuación se harán ambos planteamientos
Resolución 1: Se calcula la probabilidad de que una persona gane uno de los premios, luego de saber eso, se suman las probabilidades de 7 personas y de esa manera se llega al resultado
- p1p = Probabilidad 1 persona
- p7p = Probabilidad 7 personas
- Se calcula la probabilidad de 1 persona
- P(p1p) = 5 / 100
- P(p1p) = 0.05
- Se suman las probabilidades de 7 personas
- P(p7p) = 0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.05 +0.05 +0.05
- P(p7p) = 0.35 * 100%
- P(p7p) = 35%
Resolución 2: La segunda resolución es más directa, y se llega a la misma respuesta, de lo que se trata es de sumar todos los casos posibles de los 7 amigos, y luego calcular la probabilidad. Ojo: cada amigo tiene 5 casos favorables
- Tcf = total de casos favorables
- Se suman los casos favorables de todos los amigos
- tcf = 5+5+5+5+5+5+5
- tcf = 35
- Se calcula la probabilidad
- P(p7p) = 35 / 100
- P(p7p) = 0.35 * 100%
- P(p7p) = 35%
Conclusión
En resumen, la probabilidad clásica emerge como una herramienta esencial en la teoría de la probabilidad, basada en la distribución equitativa de la probabilidad entre los sucesos que componen un espacio muestral. A lo largo de la historia, este concepto ha desempeñado un papel crucial en una amplia gama de disciplinas, desde la estadística hasta la toma de decisiones en entornos de incertidumbre.
En última instancia, la comprensión y aplicación de la probabilidad clásica son fundamentales para abordar situaciones donde la incertidumbre juega un papel preponderante. Ya sea al lanzar un dado o al tomar decisiones en el ámbito profesional, la probabilidad clásica proporciona un sólido marco para la evaluación de riesgos y la toma de decisiones fundamentadas.