Cómo encontrar el dominio y rango de la funcion Valor Absoluto
En este articulo se enseñará como encontrar el dominio y rango de cualquier función valor absoluto.
Si lo que se explica en los siguientes textos no se logra comprender al 100%, por favor, ir a los ejemplos que están mas abajo para lograr una mejor comprensión
Antes de proceder a encontrar el dominio y rango de diferentes funciones valor absoluto, hay que recordar la definición de una función valor absoluto, y es que todas las funciones que tienen el valor absoluto de la variable independiente son compuestas por 2 partes de dos funciones diferentes.
Lo que se hace en la definición de este tipo de funciones es determinar hasta donde se toma en cuenta la parte positiva de la función y desde donde se toma en cuenta la parte negativa.
- Para el valor absoluto de a
- |x| = {
a si a ≥ 0 -a si a < 0
Como se puede observar en la definición de las funciones estas toman diferentes signos de “x” dependiendo del valor que tome la variable “x”, entonces haciendo esto quedan dos funciones diferentes pero cuando se llega a cierto valor de “x” se termina una y comienza la otra, entonces para encontrar el dominio y rango de esta función se tiene que ver el dominio y rango de ambas funciones en la parte que se toman en cuenta para la función del valor absoluto.
Ejemplo para entender esto: Se encontrará el dominio y rango de la función f(x) = |x| que es la función valor absoluto mas simple o general.
Lo primero que hay que hacer aquí es hacer la definición de la función.
- Para la funcion f(x) = |x|
- |x| = {
x si x ≥ 0 -x si x < 0
Lo que significa esto, es que esta función está compuesta por la función f(x)=x y f(x) = -x, entonces lo siguiente que se hará será graficar ambas funciones en un plano cartesiano.
Una ves graficado hay que saber cuándo entra en vigencia una función y cuando entra en vigencia la otra, en este caso como se puede ver en la definición cuando x sea mayor o igual a 0 la función que se toma en cuenta es f(x) = x, en cambio cuando la “x” sea menor que 0 la función será f(x) = -x, entonces se puede entender que desde menos infinito hasta 0 la función será f(x) = -x y desde 0 hasta mas infinito la función será f(x) = x.
Ahora observando como es la función se puede llegar a la conclusión que el dominio de la función son los Reales, y el rango va desde 0 hasta más infinito.
Ejemplos de dominio y rango del valor absoluto
Ejemplo 1: Definir el dominio y el rango de la funcion f(x) = |x - 3|
Se definen las dos funciones que componen a la función
- Para la funcion f(x) = |x - 3|
- |x - 3| = {
x - 3 si x - 3 ≥ 0 -(x - 3) si x-3 < 0
- Se despeja "x" de las inecuaciones
- |x - 3| = {
x - 3 si x ≥ 3 -(x - 3) si x < 3
- Y por último se resuelven los paréntesis si es que hay
- |x - 3| = {
x - 3 si x ≥ 3 -x + 3 si x < 3
Ahora ya se tienen las dos rectas que componen a la función, entonces analizando la definicion se entiende que la funcion f(x) = x-3 va desde menos infinito hasta 3 y desde 3 hasta mas infinito se grafica la recta f(x) = -x + 3, y se grafica de tal manera
Entonces ya teniendo la gráfica de la función valor absoluto se puede determinar que el dominio de la función son los números reales y el rango son los Reales mayores o iguales a 0
Ejemplo 2: Hallar el dominio y el rango de la funcion f(x) = |x - 1| * x
Primero se define la función
- Para la funcion f(x) = |x - 1| * x
- |x - 1| * x = {
(x - 1) * x si x - 1 ≥ 0 -(x - 1) * x si x-1 < 0
- Se despeja "x" de las inecuaciones
- |x - 1| * x = {
(x - 1) * x si x ≥ 1 -(x - 1) * x si x < 1
- Y por último se resuelven los paréntesis si es que hay
- |x - 1| * x = {
x2 - x si x ≥ 1 -x2 + x si x < 1
Cómo se puede observar las dos funciones que estan en la definición son dos parabolas, cuando en estos tipos de funciones salen parábolas estas siempre serán una parabola positiva y la otra negativa, por lo tanto, el Dominio de la funcion f(x) |x-1| * x son los Reales y de igual manera el Rango de la funcion son los Reales.
El resultado se puede comprobar graficando la funcion, esto se hace graficando ambas parabolas y cortandolas cuando x sea igual a 1, es decir graficar f(x)=x2 - x desde menos infinito hasta 1 y f(x)=-x2 + x desde 1 hasta mas infinito.
