Dominio y rango funciones trigonométricas - seno, coseno y tangente
En este articulo Se mostrarán las condiciones para poder definir tanto el dominio y el rango de las principales funciones trigonométricas
Para conocer tanto el dominio como el rango de una funcion trigonométrica primero se debe conocer cómo se comporta la gráfica de cada funcion trigonométrica y ciertas características en común que cada una de estas posee, porque a pesar de que de estas funciones ninguna es igual a la otra, hay ciertos puntos de cada grafica que son clave para conocer hasta donde llegará la funcion en su dominio y en su rango.
Antes de comenzar hay que aclarar ciertos conceptos que se ocupan a la hora de obtener el dominio y el rango de una funcion trigonométrica, estos se obtienen evaluando la funcion en ciertos valores de “x”, lo que es diferente a otros tipos de funciones es que estos valores de “x” son en realidad grados de inclinación y para grados de inclinación existen dos tipos de medidas, una unidad de medida son los grados y la otra son los radianes, ahora bien, es importante saber cómo se está evaluando la función porque no es lo mismo 3 radianes que 3 grados.
Para evitar confusiones o malos cálculos hay que configurar la calculadora de manera que trabaje ya sea con grados o con radianes, en los ejemplos de este artículo se ocupará como medida de inclinación los radianes, pero en caso de sentirse más cómodos con los grados ver la siguiente tabla de conversión:
| Radianes | Grados |
|---|---|
| π / 2 | 90° |
| π | 180° |
| 3π / 2 | 270° |
| 2π | 360° |
Para comprobar si la calculadora que se está ocupando está en radianes o en grados, por favor ingresar la operación sen(10) si la respuesta es “-0.5402…” entonces la calculadora está configurada en radianes, en cambio, si el resultado fue “0.1736…” entonces se está trabajando con grados.
Dominio y rango de la funcion seno
El dominio de una funcion seno son los reales, dicho en intervalos, este va desde menos infinito hasta más infinito ]- ∞ , +∞ [ puesto que no hay un valor de “x” que no aceptado en una funcion seno.
Para encontrar el rango de la funcion primero hay que observar la gráfica de la funcion seno, en esta se puede observar que es un ciclo infinito donde hay un punto máximo y un punto mínimo y este va alternándose, entonces como se puede ver, un punto donde alcanza el rango máximo es cuando “x” equivale a π/2, y el rango mínimo lo alcanza cuando “x” vale 3π/2, entonces lo que se tiene que hacer es evaluar la funcion en estos valores de “x” y de esta manera se encuentra el rango de cualquier funcion.
Cuando un número negativo está multiplicando al seno, entonces los puntos se intercambian, es decir que el rango máximo va a estar en 3π/2 y el valor mínimo en x=π/2, pero esto no cambia en nada, solamente hay que ordenar los números de mayor a menor y así establecer el rango.
Para comprobar lo anterior se encontrará el dominio y rango de la funcion f(x) = 4sen(x) – 4.
El dominio del seno siempre serán los reales, ahora para encontrar el rango se evaluará la funcion en los valores de “x” π/2 y 3π/2.
- Se encuentra el primer punto maximo del rango (x = 3π / 2)
- f(x) = 4sen(3π / 2) - 4
- f(x) = 4(-1) - 4
- f(x) = -4 - 4
- f(x) = -8
- Se encuentra el segundo punto maximo del rango (x = π / 2)
- f(x) = 4sen(π / 2) - 4
- f(x) = 4(1) - 4
- f(x) = 4 - 4
- f(x) = 0
Por lo tanto el rango de la funcion es [-8 , 0]
Dominio y rango de la funcion coseno
Al igual que la funcion seno el dominio de la funcion coseno son los números reales]- ∞ , +∞ [.
El rango, sin embargo se calcula de manera distinta y es que si se ve la gráfica de una funcion coseno los puntos extremos los alcanza en diferentes radianes, en este caso la funcion coseno el rango alcanza los extremos del rango cuando “x” = 0 y cuando “x” =π
Ejemplo: encontrar le dominio y rango de la funcion f(x) = -3cos(x) + 1
- Se encuentra el primer punto maximo del rango (x = 0)
- f(x) = -3cos(0) + 1
- f(x) = -3(1) + 1
- f(x) = -3 + 1
- f(x) = -2
- Se encuentra el segundo punto maximo del rango (x = π)
- f(x) = -3cos(π) + 1
- f(x) = -3(-1) + 1
- f(x) = 3 + 1
- f(x) = 4
Por lo tanto el rango de la funcion es [-2 , 4]
Dominio y rango de la funcion tangente
La tangente es diferente a las dos anteriores, pues esta no repite un ciclo de forma vertical continuo sino que es un ciclo entrecortado de varias figuras verticales que se repiten siempre.
A diferencia del seno y del coseno, el rango de la tangente son los números reales, es decir que va desde menos infinito hasta mas infinito, y en este caso lo que no son los reales es el dominio, pues como se puede ver en la grafica de la funcion hay ciertos puntos de “x” que vuelven a la funcion indefinida, esto se puede comprobar ingresando en la calculadora tan(π / 2) (si es en radianes) o tan(90) (si es en grados) y el resultado debe ser un error, porque estos valores no pertenecen a la funcion tangente ni cualquier equivalente a 90° o -90° .
En conclusión el rango de una funcion tangente son los números reales]- ∞ , +∞ [, mientras que el rango son los reales, a excepción de los equivalentes a 90° y -90°, esto se podría representar como: ]- ∞ , +∞ [ - {( (2n + 1) *π ) / 2}
